حلتمارين الرياضيات

الفصل الخامس
تطابق المثلثات - تمارين(5 -1)
1~ دز =75 ْ ، وز = 55ْ ، هـز = 50 ْ
‘ د و ‘ = 3 سم ، ‘ هـ و ‘ = 4.5 سم ، ‘ اب ‘ = 3.5 سم
2~ جـز = هـز ، ‘ ا ب‘ = ‘ط ي‘ ، ‘ا ج‘ = ‘ط هـ‘ ، ‘ ب جـ ‘ = ‘ي هـ‘
3~ بز = هـز ، جـز = دز ، ارأس مشترك
‘ اب ‘ =‘ ا ه‘ ، ‘ ب ج‘ =‘ ه د‘ ، ‘ا ج‘ =‘ ا د‘
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحالة الأولى لتطابق مثلثين - تمارين (5 - 2 )
1~ نرسم مثلث باستخدام المسطرة والفرجار
2~ أ) المثلثان ا ب ج ، ج د ا فيهما ‘ اب ‘ = ‘ د ج‘ ، ‘ ب ج‘ = ‘ ا د‘
أ ا ج ٍ ضلع مشترك إ المثلثان متطابقان .
ب) من ا نستنتج أن : ب ا؟ ج = د ج؟ ا وهما متبادلتان إذاً ا ب ] ج
3~ في المثلثين ا ج د ، ا ج ب
‘ ا د‘ = ‘ اب ‘ ، ‘ ج د‘ = ‘ ج ب‘ ، أ ا ج ٍ ضلع مشترك
إ المثلثان متطابقان وينتج د ا؟ ج = ب ا؟ ج ، إذاً ا ج منصف للزاوية ب ا ؟ د
4~ المثلثان ا ب د ، ا ب ج فيهما ‘ ا د‘ = ‘ ب ج‘ ، ‘ا ج‘ = ‘ ب د‘ ، أ ا بٍ ضلع مشترك
إ المثلثان متطابقان وينتج ا ب؟ ه = ب ا؟ ه ، إ ‘ ا ه‘ = ‘ ب ه‘
5~ المثلثان ب م ا ، ب م ج فيهما ‘ ا ب‘ =‘ ب ج‘ ، أ ب مٍ ضلع مشترك
‘ م ا‘ = ‘ م ج‘ ، { م} مركز الدائره
إ المثلثان متطابقان وينتج ا ب؟ م = ج ب؟ م ، ا م؟ ب = ج م؟ ب ، ب ا م ظ= ب ج؟ م
6~ المثلثان ا ب ج ، د ه و فيهما
‘ ا ب‘ = ‘ د ه‘ ، ‘ا ج‘ = ‘ دو‘ ، ‘ ب ه‘ = ‘ ج و‘ وينتج أن :
‘ ب ه‘+‘ ه ج‘=‘ ج و‘+‘ ه ج‘ تت ‘ ب ج‘=‘ ه و‘ إ المثلثان متطابقان
أي أن ا ب ج ظ= د ه ج ظ، وهما متناظرتان إ ا ب ] د ه ، ا ج قاطع لهما


7~ أ) المثلثان م ب د ، م ج د فيهما : ‘ ب د‘ = ‘ ج د‘ ، ‘ ب م‘ = ‘ ج م‘ ،
أ د مٍ ضلع مشترك إ المثلثان متطابقان .
ب) من تطابق المثلثان م ب د ، م ج د ينتج أن ب د؟ م = ج د؟ م
وحيث أن ب د م ظ+ ج د م ظ= 180 ْ إ ب د؟ م = ج د؟ م = 90 ْ إ م د عع ب ج
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحالة الثانية لتطابق مثلثين - تمارين (5 - 3)
1~ المثلثان ا ب ج ، ا ه د فيهما ‘ ا ب‘ = ‘ ا ه‘ ، ‘ ا ج‘ = ‘ ا د‘ ،
ب ا؟ ج = ه ا؟ د متقابلتان بالرأس .
المثلثان متطابقان وينتج ‘ ب ج‘ = ‘ ه د‘ ، ب ز = ه ز ، ج ز = د ز
2~ المثلثان ا ب ج ، ا ب د فيهما ‘ ا ج‘ = ‘ ا د‘ ، أ ا بٍ ضلع مشترك ،
ب ا؟ ج = ب ا؟ د إ المثلثان متطابقان وينتج ج ز = د ز
3~ المثلثان ا ب ج ، د ب ج فيهما : ‘ ا ب‘ = ‘ د ج‘ = 2 سم
أ ب جٍ ضلع مشترك ، ا ب؟ ج = د ج؟ ب إ المثلثان متطابقان وينتج أن ‘ ا ج‘ = ‘ د ب‘
4~ المثلثان ج ب ه ، د ا ه فيهما ‘ ب ج‘ = ‘ ا د‘ ، ‘ ب ه‘ = ‘ ا ه‘ ، ب ز = ا؟
المثلثان متطابقان وينتج أن : ‘ ه ج‘ = ‘ ه د‘ إ المثلث ه ج د متطابق الضلعين ه ج؟ د = ج د؟ ه
5~ المثلثان ا ج د ، ج ا ب فيهما : ‘ ا د‘ = ‘ ب ج‘ ، أ ا ج ٍ ضلع مشترك ، ا د ] ب ج ،
ا ج قاطع لهما ، إ د ا ج ظ = ب ج ا ظ بالتبادل إ المثلثان متطابقان وينتج أن :‘ د ج‘ = ‘ ا ب‘
6~ ا ب ] ه و ، ج و قاطع لهما ، إ ب ا؟ ج = و ز بالتناظر
المثلثان ب ا ج ، ه و د متطابقان لأن ‘ ا ج‘ = ‘ و د‘ ، ‘ب ا‘ = ‘ ه و‘ ، ب ا؟ ج = و ز
7~ المثلثان ا ب د ، ا ج ه فيهما : ‘ ا ب‘= ‘ ا ج‘ ، ‘ ب د‘ = ‘ ج ه‘ ،
ب؟ = ج؟ إ المثلثان ا د ب ، ا ج ه متطابقان وينتج أن :
‘ ا د‘ = ‘ ا ه‘ إذاً المثلث ا د ه متطابق الضلعين.

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الحالة الثالثة لتطابق مثلثين -تمارين (5- 4)
1~




المثلثان ا ب ج ، ك ل م فيهما ‘ ا ب‘ = ‘ كل‘ = 6 سم، ا ز= ك ز = 60 ْ ، ب ز = ل ز =40 ْ
إ المثلثان ا ب ج ، ك ل م متطابقان وينتج أن ‘ ب ج‘= ‘لم‘ ، ‘ ا ج‘ = ‘ ك م‘ ، ج ز = م ز
2~ المثلثان ا ب ج ، ا د ج فيهما أ ا جٍ ضلع مشترك ، ب ز= د ز ، ا ج؟ ب = ا ج؟ د إ متطابقان وينتج أن ‘ ا ب‘ = ‘ ا د‘ ، ‘ ب ج‘ = ‘ ج د‘ ، ب ا؟ ج = د ا؟ ج
3~ ا ب ] د ه ، ا ه قاطع لهما إ ا ز= ه ز بالتبادل
المثلثان ا ج ب ، ه ج د فيهما ‘ ا ج‘ = ‘ ج ه‘ ، ا ز = ه ز ، ا ج؟ ب = ه ج؟ د متقابلتان بالرأس
إ متطابقان وينتج أن ‘ ب ج‘ = ‘ ج د‘
4~‘ ا ب‘ = ‘ ا ج‘ ، إ ا ب؟ ج = ا ج؟ ب
المثلثان ج ه ب ، ب د ج فيهما أ ب جٍ ضلع مشترك ،
ب ه ج ظ = ج د ب ظ = 90 ْ لأن أ ب دٍ ، أ ج هٍ ارتفاعا ن
ا ب؟ ج = ا ج؟ ب إ متطابقان وينتج أن ‘ب ه‘ = ‘ج د‘
5~ أ) المثلثان ا د ب ، ب ج ا فيهما
أ ا بٍ ضلع مشترك ، د ا؟ ب = ج ب ا ظ = 90 ْ ،
ج ا؟ ب = د ب؟ ا = 40 ْ إ المثلثان متطابقان
ب) من ا نستنتج أن :
‘ ا د‘ = ‘ ب ج‘ ، ا د؟ ب = ا ج؟ ب ، ا ن؟ د = ب؟ ن ج
إ المثلثان ا ن د ، ب ن ج متطابقان
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


تطابق المثلثات القائمة الزاوية - تمارين (5-5)
1~ المثلثان ا د ج ، ا ب ج فيهما أ ا جٍ ضلع مشترك ، ‘ ا د‘ = ‘ ا ب‘ ، د ز = ب ز= 90 ْ
إ المثلثان متطابقان وينتج أن ‘ ج د‘ = ‘ ب ج‘
۲ ~ المثلثان ا ب ج ، ب ا د فيهما ج ا؟ ب = ا ب؟ د = 90 ْأ ا بٍ ضلع مشترك ،
‘ ب ج‘ =‘ ا د‘ إ المثلثان متطابقان وينتج أن ج ز = د ز
3~ أ) المثلثان ج ا ب ، د ب ا فيهما ج ا؟ ب = د ب؟ ا = 90 ْ ، أ ا بٍ ضلع مشترك ،
‘ ا د‘ = ‘ ب ج‘ إذاً المثلثان متطابقان وينتج أن ب ا؟ د= ا ب ج ظ
إ المثلث ا ن ب متطابق الضلعين
4~ المثلثان د هـ جـ ، دوب فيهما دهـ؟ جـ = دو؟ ب =90 ،‘ د جـ ‘ = ‘ د ب ‘ ، ‘د ه ‘ = ‘د ج‘
إذاً المثلثان متطابقان وينتج أن ب ز= ج ز إ المثلث اب ج متطابق الضلعين
5~ بما أن ا ب ج د مستطيل فان‘ ا د‘ =‘ ب ج‘ المثلثان ا د ه ، ج ب و فيهما
د ز = بز = 90 ْ،‘ ا ه‘ = ‘ ج و‘ ، ‘ ا د‘ =‘ ب ج ‘ إذاً المثلثان متطابقان وينتج أن ‘د ه ‘ = ‘و ب‘
6~ المثلثان ا د ه ، ب ج ه فيهما
ا ز = ب ز = 90 ْ، ‘ ا ه‘ = ‘ ب ه ‘ ، ‘ ا د‘ = ‘ ب ج‘
إ المثلثان متطابقان وينتج أن : ‘ ه د‘= ‘ ه جا
إ المثلث د ه ج متطابق الضلعين
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارين عامة ( 5 - 6 )
1)المثلثان د ا ب ، د ج ب الحالة الأولى( تطابق كل ضلع من أحدهما مع نظيره من المثلث الآخر
2)المثلثان د ا ب ، د ج ب الحالة الأولى( تطابق كل ضلع من أحدهما مع نظيره من المثلث الآخر
3)المثلثان ا د ب ، ا د ج الحالة الخاصة أو الحالة الأولى(تطابق وتر وضلع من أحدهما مع نظيريهما في الآخر)
4)المثلثان ه د ج ، ا ب ج الحالة الخاصة(تطابق وتر وضلع من أحدهما مع نظيريهما في الآخر)
5)المثلثان ا د ب ، ا د ج الحالة الثانية (تطابق ضلعان والزاوية المحصورةبينهما من أحدهما مع نظائرها في الآخر)
6)المثلثان ا ب ج ، ه د ج الحالة الثالثة (تطابق زاويتان وضلع من أحدهما مع نظائرها في الآخر)
7)المثلثان ا ب ج ،د ج ب الحالة الثالثة (تطابق زاويتان وضلع من أحدهما مع نظائرها في الآخر)
المثلثان ا ب ج ، ه د ج الحالة الثانية (تطابق ضلعان والزاوية المحصورةبينهما من أحدهما مع نظائرها في الآخر)
9)المثلثان ا ب ج،د ه ج الحالة الثانية (تطابق ضلعان والزاوية المحصورةبينهما من أحدهما مع نظائرها في الآخر)
۲~ ا د ] ج و ، د ج قاطع إ ا د؟ ب = و ج؟ ه بالتبادل المثلثان ا ب د ، و ه ج فيهما ‘ ا د‘ = ‘ ج و‘ معطى ا د ب ظ= و ج ه ظ
‘ ه د‘ + ‘ د ج‘ = ‘ ب ج‘ + ‘ د ج‘ ، ‘ ه ج‘ = ‘ ب د‘
إ المثلثان ا ب د ، و ه ج متطابقان وينتج أن ‘ ه و‘ = ‘ ا ب‘
3~ المثلثان ا ب ج ، د ج ب فيهما
‘ ا ب‘ = ‘ د ج‘ ، أ ب جٍ ضلع مشترك ، ب ز = ج ز إالمثلثان متطابقان وينتج أن ‘ ا ج‘ = ‘ ب د‘ 4~ المثلثان ا ب ه ، ا ج د فيهما :
‘ ا ب‘ =‘ ا ج‘ ، ‘ ا د‘ = ‘ ا ه‘ ، ‘ ب د‘ = ‘ ه ج‘ ، ‘ ب د‘+‘ د ه‘=‘ ج ه‘+‘ ه د‘ إ‘ ب ه‘=‘ ج د‘ إ المثلثان ا ب ه ، ا ج د ، متطابقان وينتج أن ب ا؟ ه = ج ا؟ د
5~ المثلثان ا د ب ، ا د ج فيهما : ‘ ا ب‘ = ‘ ا ج‘ ، أ ا دٍ ضلع مشترك ، ب ا؟ د = ج ا؟ د
إ المثلثان ا د ب ، ا د ج متطابقان وينتج أن ‘ ب د‘ = ‘ ج د‘ إ المثلث ب د ج متطابق الضلعين .
6~ بم ا ب ج مثلث متطابق الضلعين إ ‘ ا ب‘ = ‘ ا ج‘ ، ب ز = ج ز
المثلثان د و ج ، ه ع ب فيهما ‘ ج و‘ = ‘ ع ب‘ ، ب ز = ج ز ، و ز = ع ز = 90 ْ
إ المثلثان د و ج ، ه ع ب وينتج أن ‘ د و ‘ = ‘ ه ع‘ .
7~ ا ب ] ه و ، ب ج قاطع لهما ب ز = ه و؟ ج بالتناظر ، دو ] ا ج ، ب ج قاطع لهما إ ج ز = د و؟ ب بالتناظر، ‘ ب و‘ = ‘ ج و‘ ...معطى إ المثلثان د ب و ، ه و ج متطابقان
8~ المثلثان د ا ج ، ه ب ج فيهما
ا ز = ب ز = 90 ْ ، ‘ ا د‘ = ‘ ب ج‘ ، ‘ ب ه‘ = ‘ ا ج‘
إ المثلثان د ا ج ، ه ب ج متطابقان وينتج أن ‘ د ج‘ = ‘ ج ه‘
إ المثلث د ج ه متطابق الضلعين
9~ المثلثان ب ا ج ، د ه ج فيهما : ‘ ا ج‘ = ‘ ج د‘
د ج؟ ه = ا ج ب ظ بالتقابل بالرأس ، ا ب ] د ه ، ا د قاطع لهما إ ا د ه ظ= د ا ب ظ بالتبادل
إ المثلثان ب ا ج ، ه د ج متطابقان وينتج أن ‘ ا ب‘ = ‘ د ه‘ = 6 م .



الفصل السادس
وحيدات الـــحد- تمارين (6-1)
1~
وحيدة الحد المعامل العددي القسم الحرفي الدرجة بالنسبة للمتغير
س ص ع
- @؛5 س۲ص۲ع # - @؛5 س۲ص۲ع # ۲ ۲ 3
س ص ع 1 س ص ع 1 1 1
!؛2 ص % !؛2 ص % 0 5 0
- س ص $ -1 س ص $ 1 4 0

2~ ا) -6 س3 ، ب) ا ع ، جـ) - 4 س@ص #ع@ ، د) – 5 ص @ ، 5 ص @ ، !؛2 ص @
3~ ا) ضض ، ب) ضض ، جـ) ضض ، د ) ضض ، هـ ) ضض ، و) ض ، ز) ض
4~ ا) غير متشابهه ، ب) { -4-1+6} ا س = ا س ، جـ ) ( 1+8- 2 ) س ص= 7 س ص
5~ ا) 9 ا ، ب) – 9 س ، جـ ) – 8 ب ، د) س ، و)(!؛2 + #؛4 -1- !؛6) اس@= ....= !؛2 ؛1 اس@
ز) ( @؛3 - %؛2 + 1 } ا ب@ س ص$ = ....= ؛؛؛؛_؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛%6؛؛؛؛؛؛؛ ا ب@ س ص$
6~ ا) -9 ا ب ، ب) -3ص ع ، جـ) ( %؛3 + !؛3 ) ب# = .......... = 2 ب# ، د) 2 ثث س&
هـ) ( _!؛2 - !؛6 ) س@ ص@ = .......= _@؛3 س@ ص@ ، و) ( -1 +1 ) ا ع =.... = 0
7~محيط المستطيل =2× (الطول + العرض ) = 2×( 5س+2س)=2× 7س=14س
8~ الطول = ضعف العرض= 2×3س=6س
المحيط= 2×( 6س+3س) =...........= 18س
9~محيط المربع = 4×طول الضلع =4× &؛4 س= 7 س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


كثيرات الحدود- تمارين ( 6-2)
1~ اختاري:
1 2 3 4 5
ا) س+9 ب) 5 س@ - س+1 د) ا@ + ا- 4 د) الثالثة جـ) – س# - س@ +س+ 7
2~ ا) 4س# +س@ -3س+12 ، ب) س@ +س -2
جـ ) 5 س- 5 ، د) -3 س# + )؛2!؛1 س@ +2س +12
3~ الترتيب : 5س@ -3س - 6
ا) س=0 تت 5× (0)@ -3×0-6= -6
ب) س= @؛5 تت 5×( @؛5 )@ -3× @؛5 -6 = ....= $؛5 - ^؛5 - 6 = .... = _@؛5#؛
4~ ا) الدرجة الرابعة ، ب) 7-3س ص@ +2س@ ص$ +س$ ص
جـ) س=1 ، ص= -2 تت 7- 3 × (1) ×(-2)@ + 2× (1)@ ×(-2)$+ (1)$× (-2)=......= 39-14=25
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جمع كثيرات الحدود وطرحها- تمارين (6-3)
1~ا) ( 2س+4س) + ( -3س@ -5س@ ) + 7 = 6س-8 س@ +7 ، ب) 8 ا@ + 4 ا-8 ج) -2س@ +2س+1 د) -2ص@ + ص#+ 4 ، هـ) %؛9 س@ + !؛4 س -3
و) { 5 ا# + !؛2 ا# } + { _#؛4 ا + %؛6 ا + @؛3 ا} = !؛2!؛ ا# + )؛2 ؛1
2~ ا) 5 ا@ -4ا ، ب) -3س@+س+9 ، جـ) 6س@ +5 ، د) %؛6 س@ + !؛0@؛1 س-1
3~ ك= س# +2س@ -5س+3 ، ل = 2س# +2س@ +5 ، م = -س# +3س +1
ا) ك+ل = 3س# +4س@ - 5س+8 ، ب) ك – م = 2س# + 2س@ -8س +2
جـ) ك +ل-م= 4س# +4س@ - 8س +7 ، د) ك-ل-م = -8س-3
4~ا) (2س@ + 3س -1 ) – ( -3س@ + س +5 ) = 5س@ +2س -6
ب) (س# +س@ +س +1 ) + ( -2س# +س@ +2 )= -س# +2س@ +س+3
5~ محمحيط المستطيل =2× (الطول + العرض ) = 2×أ(2س+1)+ (6س+3)ٍ = .........= 16س+8

6~ شكل(1):محيط المربع= 4×طول الضلع= 4×( 10س@ - 7 ) = 40س@ -28
شكل(2):محيط متوازي الأضلاع = 2× (طول الضلع الأكبر +طول الضلع الأصغر )
= 2×أ(7ص@+9) + ( 3ص@ -1 ) ٍ =20ص@+ 16
شكل(3):محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة =أ(3س+5)+(2س+3) +(4س-1)ٍ = 9س +7
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ضرب كثيرات الحدود- تمارين ( 6-4)
1~ ا) 20س% ، ب) -10ا#ب$ ، جـ)27س^ص# ، د)2س@ ، هـ)3ا(5ا+2ا@)=15ا@+6ا#
و)ا(س– ا) =اس-ا@ ، ز)7ص(2+7ص)=14ص+49ص@ ، ح)(س-5)(2س+3)=2س@+3س-10س-15
2~ ا) -8ا^ ، ب) -3 ا% ص# ، جـ ) -230 ا# س# ، د) ا^س^ ص) ع% ، هـ) 8ا# - 20 ا@ ب@ و) 14س$ - 24س# + 6س@ - 2س ز ) 2س#- 6س@ 8 س ، ح ) 8 س# - !؛4 + س
ط) س@-6 س + 8 ، ي) $؛5 س@ + $؛5@؛ س – 9 ، ك ) 5س#-2س%-3س ل) 7س#-14س@ - 21 ، م ) 6 ا$ - 11 ا@ +3 ا# - ا- 3 ، ن ) س$ - 5س#+ 8 س@-7س-3
3~ ا) 15 ا#س$ ، ب) 13س@+11س ، جـ) – 6 ا+ 25 ، د) -4 اس +6 اب – 5 ب س
هـ) -3س@-2س-3 ، و) ا@+2 اب +ب @- ( ا@-2 اب +ب@ ) = 4 اب
4~ا)الطرف الأيمن=( س+ص )( س+ص )=س@+ س ص+ص س+ص@=س@+2س ص+ص@ = الطرف الأيسر
ب)الطرف الأيمن= ( س- ص )( س - ص )=س@-س ص– ص س+ص@=س@-2س ص+ص@= الطرف الأيسر
جـ)الطرف الأيمن= س@-س ص +ص س -ص@ = س@ – ص@ = الطرف الأيسر
د)الطرف الأيمن= س#- س@ ص + س ص@ + ص س@ - ص@ س + ص# = س# + ص# = الطرف الأيسر
هـ) الطرف الأيمن= س# + س@ ص +س ص@ - ص س@ - ص@ س – ص# = الطرف الأيسر
5~ ( !؛3 س@ ص )# = !؛7 ؛2 س^ ص#
6~ ( 3 س@ ) × ( 3 س@ + 2 س ) = 9 س$ + 6 س#
7~ مساحة الدائرة = ط×نق@ = 14 ثث3 × ( س – 6)@= 14 ثث3× (س@ -12س + 36)
= 14ثث3س@-68 ثث37 س + 04 ثث 113

8~ شكل (1) : مساجة المستطيل = الطول×العرض= 3س×(6س+2) = 18س@+6س
شكل (2) : مساحة المربع= ( طول الضلع)@ = ( 2س ص)@ = 4 س@ ص@
شكل (3)مساحة المثلث= (طول القاعدة×الارتفاع) ÷ ۲= ؛؛ بحس؛؛$؛؛ ؛؛س؛ ؛_؛؛؛؛؛؛!؛ بخس؛؛؛؛؛؛؛؛؛2؛؛؛؛؛؛بحس ؛ س؛ ؛+؛؛؛؛!؛؛بخس؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ = ؛؛؛$ ؛؛ س؛؛؛؛@؛؛+؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛2؛؛؛#؛؛؛؛؛؛؛؛ س؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛_؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛!؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ قسمة كثيرات الحدود - تمارين ( 6 – 5 )
1~ ا) س@ ص ، ب) 2 ا$ ، جـ ) 2 س ، د) ا+ ب + 1 ، هـ ) 1 ، و) 4 س%
2~ ا ) 2 س ، ب ) 3 س# ، جـ ) – 2 ، د ) 6 س@ ص@ ، هـ ) 4 ا@ب و ) ا$ ب@ + ب# ز ) !؛2 ا@ ب - #؛2 ا ب@ ، ح ) 2 س# + !؛4س ص# - س@ ص@ ، ط ) !؛2 - #؛2 ا@ ب س$
3~ ا)3 س$+7 س$=10س$ ، ب) %؛3 ا@- *؛3 ا@ =_ #؛3 ا@=- ا@ ، جـ ) 9 س ص$ - 3 ص + 5 س@ ص د ) !؛4 س# - س + !؛4 ، هـ ) 8 س@ - 5 س ، و ) – 3 ا – 2 جـ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارين عامة ( 6 – 6 )
1~ 1 - ب ) 8 س@ ، 2- ب ) 4س& ص$ ، 3- د ) صفر ، 4 - د ) 4 س ص
5 – جـ ) 6 ، 6 – د ) س@ ص# ، 7 – ب ) 8 ل@ ع ، 8 - أ ) متشابهتان ومجموعهما صفر
9- جـ ) 7 ، 10- جـ ) 2 س ص + 10 س@ ص ، 11- ب ) 6 س – 4
12- أ ) -11 ، 13 – جـ) 6 ا%
2~ أ ) ( 3 -8 +1 ) ا ب جـ = - 4 اب جـ ، ب ) ( #؛7 + ^؛7 ) ا ب = )؛7 ا ب
جـ ) ( !؛2 + 1 + 2 ) ا + ( #؛4 + 1 -4 ) ب = &؛2 ا + _)؛4 ب
د ) &؛4#؛1 س@ ص ، هـ ) – س# ص + 2س@ ص@
3~ا) _!؛3 س^ ص ، ب) -6 ا س@+ 15 ا# س - @؛3 اس ،جـ) 2 س%+ 3س$ -9 س# +س@ +3 س
د) 10 س% + 3س$ - س# +6س@ +5س+1 ، هـ ) 5س% +3س$ -7س# + 3س@+ س -1
4~ ا) -3س-4ص+28 ، ب) س@ -26س ، جـ) – س^ ص@ ، د) 11 ا$ ب* ، هـ) 4س@ + 12س +9
5~ ا) -8جـ د ، ب) -3س ص@ + 5س@ ص# -2س# ص$+ 4س$ ص% ، جـ) صفر
6~ مساحة المستطيل= ( س +3 ) × 4 ( س+3 ) = 4س@ +24س +36
محيط المستطيل = 2×أ( س+3) + (4س+12) ٍٍ = 10س + 30
7~ مساحة المثلث = ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ بحس؛ ؛؛؛؛؛؛؛؛ س؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛_؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛@؛ بخس؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛2؛؛؛ بحس؛@؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ س؛ ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛_؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛#؛؛؛؛ بخس؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ = ؛؛؛؛@؛؛؛؛؛؛؛؛ ؛؛؛س؛ @؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛_؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛2؛&؛؛؛؛ ؛س ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛+؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛^؛
8~ محيط المثلث= 3× ( س@- 3س-5) = 3س@-9س- 15
9~ مساحة المربع الكبير = ( س+6)@ = س@+ 12س + 36
مساحة المربع الصغير= س@
مساحة الجزء الملون = مساحة المربع الكبير - مساحة المربع الصغير= س@+12س+36 – س@
= 12س +36















الفصل السابع
الشكل الرباعي - تمارين ( 7 - 1 )

1~ (1 ) ب ؟ =130ْ ( 2 )الزاوية الخارجية لـ ج؟ =100ْ ، د ج ب ظ =80ْ (3 ) ب ؟ = 70 ْ .ْ
۲~ ا ز + ب ؟ + ج؟ + د ز = 360 ْ تت 1۲0 ْ+ ب ؟ + ج ؟ + 100 ْ = 360 ْ تت ب ؟ + ج؟ = 140 ْ
لكن ب ؟= ج ؟ إ ب ؟=70 ْ ، ج؟ = 70 ْ .
3~ ا ز + ب ؟ + ج؟ + د ز = 360 ْ تت 75 ْ + ب ؟+ ج ؟+ 4۲ْ = 360 ْ تت ب ؟+ ج؟ = ۲43 ْ
لكن ب ؟ = ۲ ج ؟ إ 3 ج ؟ = ۲43 ْ تت ج ؟ = 81 ْ ، ب ؟ = 16۲ ْ
4~ ا ز + ب ؟ + ج؟ + د ز = 360 ْ
بم ب ؟ = ج ؟ = ۲ ا؟ ، د ؟ = 3 ا؟ إ ا ؟ +۲ ا؟ +۲ ا؟ + 3 ا؟= 360 ْ
تت 8 ا ؟ = 360 ْ تت ا؟ = 45 ْ ، ب ؟= ج ؟ =90 ْ ، د ؟ = 135 ْ
5~ ص؟ + س؟ + ك؟ + ل؟ = 360 ْ
ْ50 ْ + ۲50 ْ + ل؟ = 360 ْ
تت ل؟ = 60 ْ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
متوازي الأضلاع- تمارين (7 - 2 )

1~ بم ا ؟ ْ 75 ْ و ج؟ = 75 ْ لأنهما زاويتان متواجهتان في متوازي الأضلاع .
إ ب؟ + د ؟ = 360 ْ ؛ 150 ْ تت ب ؟ + د؟ = ۲10 ْ لكن ب؟ = د؟ إ ب ؟= 105ْ و د ؟= 105ْ .
۲~ بم ‘ اب‘ = 10سم إ‘ د ج‘ =10سم تت ‘ اد‘ + ‘ب ج‘ = 34سم لكن‘ اد‘ = ‘ب ج‘
إ ‘ اد‘ = 17سم ، ‘ب ج‘ = 17 سم .
3~ ج؟ = 1۲0ْ لأنها زاوية مواجهة لـ ا و ادج ظ + ب؟ = 360 ْ - ۲40 ْ تت ادج ظ + ب؟ = 1۲0ْ
لكن ادج ظ = ب؟ إ ادج ظ =60 ْ و ب؟ = 60 ْ وبالتالي ج د ه ظ= 1۲0 ْ لأن ا د ه ظ زاوية مستقيمة .
4~ بم ج اب ظ =54 ْ ومجموع زوايا المثلث 180 ْ إ اج ب ظ + ب؟ = 180 ْ- 54 ْ
تت اج ب ظ + ب؟ = 126 ْ
لكن ا ج ب ظ = ب؟ لأن ‘ اج‘ = ‘ اب‘ إ ا ج ب ظ = 63
تت ب؟ = 63 ْ ، ا؟ = 117ْ ، ج ؟ = 117 ْ ، د ؟ = 63 ْ .
5~ بم ا د ] ب ج إ د ز = س ج ب ظ = 75 ْ ، ج؟ = 180 ْ - 75 ْ تت ج؟ = 105 ْ
ب؟ = 360 ْ - ۲85 ْ تت ب؟ = 75 ْ
بما أن كل زاويتين متوا جهتين متطابقين إذاً ا ب ج د متوازي أضلاع .
6~ بم ب ؟ = ب د ه ظ إ ‘ ب ه‘ = ‘ ه د‘ ومعطى ‘به ب ه‘ =‘ ا ن‘ إ ‘ ه د‘ = ‘ ا ن‘ .
و بم ج؟ = ن د ج ظ إ ‘ ن د‘ = ‘ن ج‘ ومعطى ‘به ا ه‘ =‘ ن ج‘ إ ‘ ا ه‘ = ‘ ن د‘ .
بما أن كل ضلعين متواجهين متطابقين إذاً ا ن د ه متوازي أضلاع .
7~ بم ا ب ج د متوازي أضلاع
إ ‘ا ب‘ = ‘د ج‘ و ا ب ] د ج
تت ‘ا ه‘ +‘ه ب‘ = ‘د ي‘ + ‘يج‘ لكن ‘ا ه‘ = ‘يج‘
تت ‘ه ب‘ = ‘د ي‘ و ه ب ] د ي إ ه ب يد متوازي أضلاع .
8~ بم ا ب ج د متوازي أضلاع إ ‘ا ب‘ = ‘د ج‘ و ا ب ] د ج
لكن معطى ‘دج‘ = ‘ج س‘ تت ‘ا ب‘ = ‘ج س‘ و ا ب ] ج س
إ ا ب س ج متوازي أضلاع .

9~ ن م ب ج متوازي أضلاع لأن قطراه ينصف كلٌ منهما
الآخر وبالتالي م ن ] ب ج و ‘ م ن‘ = ‘ ب ج‘


10~ 11~ 1۲~



ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


المعين- تمارين (7 -3 )

1~ بما أن الرباعي ا ب ج د فيه م ؟ = 90 ْ و ‘ م ا‘ = ‘ م ج‘ ،
‘ م ب‘ =‘ م د‘ إ هو معين لأن قطراه متعامدان وينصف كل منهما الآخر .
۲~ ا) بم ا د ] ب ج و ا ج ] د ب إ ا د ب ج متوازي أضلاع
أي أن : ‘ب د‘ =‘ اج‘ ،‘بج‘ = ‘ اد‘ لكن ‘اج‘ = ‘ ب ج‘
من إ ادب ج معين لأنه متوازي أضلاع أضلاعه متطابقة .
ب ) ج اب ظ= 60 ْ ا ب ج ظ= 60 ْ ج ز = 60 ْلأن ابج مثلث متطابق الأضلاع
كما أن : ‘ا ب‘ = ‘ب د‘ = ‘ اد‘ لأن ‘اب‘ = ‘ب ج‘ والمعين أضلاعه متطابقة
إ ا ب د مثلث متطابق الأضلاع أي أن ب د ا ظ= 60 ْ ، د ا ب ظ= 60 ْ ، ا ب د ظ = 60 ْ
من ماسبق نستنتج أن قياس زوايا المعين هي ا ؟= 1۲0 ْ، ب ؟ = 1۲0 ْ ، ج ؟= 60 ْ ، د؟ = 60 ْ .
3~ 4~



5~ قياس زوايا المعين هي : ا؟ =7۲ ْ ، ج؟ =7۲ ْ ، د؟ =108 ْ ، ب؟ = 108 ْ .
6~ المثلثان ا م د و ا م ب متطابقان لأن : ‘ دم‘ = ‘م ب‘
و ‘اب‘ = ‘اد‘ لأن ا ب ج د معين ، ام ضلع مشترك .
ومنه : د ا م ظ = م ا ب ظ أي أن القطر اج ينصف الزاوية ا .
بنفس الطريقة يمكن إثبات أن القطرين منصفان للزوايا الداخلية الباقية .

7~ إثبات أن ي ب جـ ق معين :
بم ا ب ج د متوازي أضلاع إ ‘اب‘ = ‘ دج‘ ، ‘ اد‘ = ‘ب ج‘
وبم‘اب‘=۲‘ب ج‘ أي أن ‘ب ج‘= !؛2‘اب‘ إ‘ي ب‘ = ‘ ب ج‘ =‘ج ق‘ لأن ي،ق منتصف أابٍٍ ، أج دٍ
على التوالي أي أن ي ب جـ ق متوازي أضلاع لأنه وجد فيه ضلعان متواجهان ومتوازيان ومتطابقان ومنه نستنتج أن :
‘ي ق‘ = ‘ب ج‘ = ‘ج ق‘ = ‘ي ب‘ أي أن ي ب جـ ق معين .
وبالمثل يمكن اثبات أن ايق د معين .

8~ أ ) بما أن م ي ارتفاع و متوسط في المثلث م ط ج
إ ج م ي ظ = يم ط ظ تت 1~
وبما أن م ي و اط عموديان على ب ج إ هما متوازيان ومنه م اط ظ = ج م ي ظ ( بالتناظر ) تت ۲~
و م ط ا ظ = ي م ط ظ ( بالتبادل ) تت 3~ من 1~ و ۲~ و 3~ نستنتج أن م طا ظ = م اط ظ
ومنه ‘ ام‘ = ‘م ط‘ أي أن ا م ط مثلث متطابق الضلعين .
ب ) بنفس الطريقة المتبعة في فقرة ( ا ) يمكن أثبات أن ا ن ط هو مثلث متطابق الضلعين .
جـ ) في الرباعي ا نطم نجد أن :
* ‘ ان‘ = ‘ ام‘ لأن ن ، م منتصف أا ب ٍ و أا ج ٍ على التوالي و ‘ اب‘ = ‘ اج‘ .
* ‘ ام‘ = ‘م ط‘ من فقرة ( أ ) . * ‘ ان‘ = ‘ نط‘ من فقرة ( ب ) .
من ماسبق نستنتج أن : ‘م ط‘ = ‘ ام‘ = ‘ ان‘ = ‘ نط‘ أي أن الرباعي ا نطم معين لأن أضلاعه متطابقة
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
المستطيل - تمارين ( 7 - 4 )
1~ أ ) ب )




۲~ بم ا ب ج د رباعي قطراه متطابقان و ينصف كلٌ
منهما الاَخر إ ا ب ج د مستطيل .

3~ بم ب ج ] اد و ج د ] اب إ اب ج د متوازي أضلاع ،
لكن ا ؟ =90 ْ إذاً ا ب ج د مستطيل.


4~ بم ا ب ج د معين إ ا د ] ب ج أي أن م د ] ب ن ] ب ج
لكن د ن عع ب ج إ د ن عع ا د لأن كل عمودي على مستقيم هو عمودي
على جميع المستقيمات الموازية له .
كما أن د ن ] ب م لأنهما عموديان على مستقيم واحد .
من ما سبق نستنتج أن م ب ن د متوازي أضلاع و بم د م ب ظ = 90 ْ إ م ب ن د مستطيل .

5~ بم ‘ ا ه‘ = ‘ ه ج‘ لأن أب هٍ متوسط ، و ‘ د ه‘ = ‘ ب ه‘ معطى
إ ا ب ج د متوازي أضلاع لأن قطراه ينصف كل ٌ منهما الاَخر ،
و بم ب ؟ =90 ْ إ ا ب ج د مستطيل .

6~ بم ‘م ا‘ = ‘ م ب‘ = ‘ م ج‘ = ‘م د‘ إ ا ب ج د مستطيل
لأن قطراه متطابقان وينصف كلٌ منهما الآخر .


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
المربع - ( 7 - 5 )


1~ أ ) ب)



۲~ بم ‘م ا‘ = ‘ م ب‘ = ‘ م ج‘ = ‘م د‘ إ الرباعي ا ب ج د
مستطيل لأن قطراه متطابقان وينصف كلٌ منهما الاَ خر.
ويكون الشكل مربع إذا كان القطران متعامدان .
3~ ‘ اج‘ = ‘ب د‘ لأنهما قطران في الدائرة (م ) و‘م ا‘ =‘ م ب‘ =‘ م ج‘ = ‘م د‘
إ ا ب ج د مستطيل لأن قطراه متطابقان وينصف كلٌ منهما الاَ خر .
ويكون الشكل مربع إذا كان القطران متعامدان .

4~ في الرباعي ا ب ج د نلاحظ أن قطراه متعامدان ( معطى ) ، وينصف كلٌ منهما الاَخر لأن
‘م ا‘ = ‘ م ج‘ ، ‘ م ب‘ = ‘م د‘ إ ا ب ج د معين .
ويكون مربعاً إذا كان ‘ ا ج‘ = ‘ ب د‘ ( قطراه متطابقان )

5~ في الشكل ا ب ج د نجد أن :
قطراه متطابقان وينصف كلٌ منهما الآخر لأن:‘م ا‘ = ‘ م ب‘ = ‘ م ج‘ = ‘م د‘ ،
كما أن قطراه متعامدان لأن م ؟ = 90 ْ إ ا ب ج د مربع .
6~ بم ب د عع س ص و ب د عع ع ط
إ س ب د ظ = 90 ْ ، ص ب د ظ= 90 ْ ، ب د ع ظ = 90 ْ ، ب دط ظ= 90 ْ
تت ا ب د ظ= 45 ْ لأن ب ا منصف لـ س ب د ظ تت 1لأ
د ب ج ظ= 45 ْ لأن ب ج منصف لـ ص ب د ظ تت ۲لأ
ا د ب ظ= 45 ْ لأن د ا منصف لـ ب د ع ظ تت 3لأ
ب دج ظ جظ= 45 ْ لأن د ج منصف لـ ب د ط ظ تت 4لأ
من 1لأ و ۲لأ نستنتج أن اب ج ظ= 90 ْ و من ۲لأ و 3لأ نستنتج أن ا د ج ظ= 90 ْ
في المثلث اب د نجد أن : * ا؟= 90 ْ لأن مجموع زوايا المثلث 180 ْ
* ‘ اب‘ = ‘ اد‘ لأن ا ب د ظ = ا د ب ظ
في المثلث ب ج د نجد أن : * ج؟ = 90 ْ لأن مجموع زوايا المثلث 180 ْ
* ‘ب ج‘ = ‘ ج د‘ لأن ب د ج ظ = د ب ج ظ
من ماسبق نلاحظ أن زوايا الرباعي قوائم إ هو مستطيل وبالتالي كل ضلعين متواجهين متوازيين ومتطابقين .
أي أن : ‘ اب‘ = ‘ د ج‘ و ‘ اد‘ = ‘ ب ج‘
و بم ‘ اب‘ =‘ اد‘ = ‘ ب ج‘ = ‘ ج د‘ إ الرباعي ا ب ج د مربع .
7~ بم ا ب ج د مربع ق ، ك ، ل ، ن هي منتصفات أضلاعه
المثلثات التالية متطابقة الساقين :
ن ا ق ، ق ب ك ، ك ج ل ، ل د ن
كما أنها متطابقة لأنها قائمة وفي كلٌَ منها ضلعين مطابقين لضلعين في المثلثات الأخرى
من ذلك نستنتج أن ‘ ن ق‘ =‘ق ك‘ = ‘ كل‘ =‘ل ن‘ أي أن ق ك ل ن رباعي أضلاعه متطابقة .
بم المثلث ن ا ق متطابق الضلعين و قائم الزاوية إ ا ق ن ظ = 45 ْ تت 1لأ
بم المثلث ق ب ك متطابق الضلعين و قائم الزاوية إ ب ق ك ظ = 45 ْ تت ۲لأ
من 1لأ و ۲لأ نستنتج أن : ن ق ك ظ= 90 ْ لأن ا ق ب ظ = 180 ْ
بم الرباعي ق ك ل ن متطابق الأضلاع وذو قطاع زاوي قائم إ هو مربع ومحاور تناظره هي قطراه و المستقيمان الماران بمنتصفات أضلاعه .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
شبه المنحرف - ( 7 - 6 )

1~ ( 1 ) ب ا د ظ = 105 ْ ، ا د ج ظ = 75 ْ ، ب ج د ظ = 75 ْ
( ۲ ) ا ب ج ظ = 80 ْ ، ب ا د ظ= 80 ْ ، ا د ج ظ = 100 ْ ، د ج ب ظ = 100 ْ
( 3 ) ب اج ظ = 35 ْ ، ب ج ا ظ= 35 ْ ، ا ج د ظ = 35 ْ ، ج ا د ظ = 90 ْ
( 4 ) د ا ب ظ و ا ب ج ظ زاويتان داخليتان محصورتان بين مستقيمين متوازيين وقاطعهما إذاَ هما متكاملتان .
د ا ب ظ + ا ب ج ظ = 180 ْ أي أن : د ا ب ظ = 110 ْ
ا د ج ظ و د ج ب ظ زاويتان داخليتان محصورتان بين مستقيمين متوازيين وقاطعهما إذاَ هما متكاملتان .
ا د ج ظ+ د ج ب ظ = 180 ْ أي أن : ا د ج ظ = 98 ْ

۲~ بم ا ب ج د شبه منحرف إ ا ب ] ج د
و بم ا د عع ا ب إ ا د عع ج د وبالتالي د؟ = 90 ْ
ومجموع زوايا الرباعي 360 ْ أي أن ج؟ = 360 ْ- 90 ْ - 90 ْ– 1۲0 ْ تت ج؟ = 60 ْ

3~ بم شبه المنحرف ا ب ج د متطابق الساقين .
إ الزاويتان المجاورتان لكل من قاعدتي شبه المنحرف
متطابقتان أي أن ب؟ = 110 ْ
د؟ + ج؟ = 360 ْ - ۲۲0 ْ تت د؟ + ج؟ = 140 ْ لكن د؟ = ج؟ إ د؟ = 70 ْ ، ج؟ = 70 ْ .



4~ المثلثان اجط و اب ي فيهما ‘ اب‘ =‘ اج‘ ، ا ؟ زاوية مشتركة ، اطج ظ= ايب ظ = 90 ْ
إ المثلثان متطابقان ومنه ‘ اي‘ =‘اط‘ وبالتالي ‘طب‘ =‘يج‘ تت 1لأ
بم ‘ اط‘ =‘اي‘ إ اط ي ظ = اي ط ظ = ( 180 ْ - ا؟ ) ÷ ۲
بم ‘ اب‘ =‘اج‘ إ ا ب ج ظ = اج ب ظ = ( 180 ْ - ا؟ ) ÷ ۲
من ماسبق نلاحظ أن اط ي ظ = ا ب ج ظ ( بالتناظر ) و اي ط ظ = ا ج ب ظ ( بالتناظر ) .
أي أن ط ي ] ب ج تت ۲لأ
من 1لأ و ۲لأ يتم إثبات أن ب ج ي ط شبه منحرف متطابق الساقين .
5~ أ ) بم ا ب ] ج د قطعهما قاطع أ ج م إ ب م ج ظ = م ج د ظ بالتبادل تت 1لأ
لكن أ ج م ينصف ب ج د ظ إ ب ج م ظ = م ج د ظ تت ۲لأ
من 1لأ و ۲لأ نستنتج أن : ب م ج ظ = ب ج م ظ تت ‘ م ب‘ =‘ ب ج‘ .
ب ) معطى أن : ‘ اب‘ =‘ ب ج‘ +‘ ا د‘ تت 1لأ لكن ‘ اب‘ =‘ ا م‘ +‘ م ب‘ تت ۲لأ
من 1لأ و ۲لأ نستنتج أن : ‘ ا م‘ +‘ م ب‘ = ‘ ب ج‘ +‘ ا د‘
لكن ‘ م ب‘ = ‘ ب ج‘ من فقرة ( أ ) إ ‘ ا م‘ = ‘ ا د‘ وهو المطلوب .
جـ ) في المثلث ا م د فيه ‘ ا م‘ = ‘ ا د‘ إ ا م د ظ = ا د م ظ تت 1لأ
و بم ا ب ] ج د قطعهما قاطع أ د م إ ا م د ظ = م د ج ظ تت ۲لأ
من 1لأ و ۲لأ نستنتج أن : ا د م ظ = م د ج ظ أي أن أ د م ينصف ا د ج ظ.
6~ بم ا ب ج د شبه منحرف إ ا ب ] ج د تت 1لأ
و بم ب ج عع ج د و ا ه عع ج د إ ا ه ] ب ج تت ۲لأ
ومعطى : ‘ اب‘ = ‘ ب ج‘ تت 3لأ
من 1لأ و ۲لأ و 3لأ نستنتج أن : ا ب ج ه مربع ومنه ‘ ا ه‘ = ‘ ب ج‘ = ‘ ه ج‘ تت 4لأ
لكن معطى ‘ د ج‘ = ۲‘ ب ج‘ أي أن ‘ ج ه‘ +‘ ه د‘ = ۲‘ ب ج‘
لكن ‘ ج ه‘ = ‘ب ج‘ ئ ‘ ه د‘ = ‘ ب ج‘ تت 5لأ
من 4لأ و 5لأ نستنتج أن : ‘ اه‘ = ‘ ه د‘
أي أن المثلث ا ه د فيه ا ه د ظ = 90 ْ، د ا ه ظ = ا د ه ظ = 45 ْ.
من ماسبق نستنتج أن قياس زوايا شبه المنحرف هي كالتالي :
ب؟ = 90 ْ، ج؟ = 90 ْ ، ا؟ = 135 ْ، د؟ = 45 ْ.
تمارين عامة - ( 7 - 7 )

1~ ( أ ) ضض ، ( ب ) ضض ، ( ج) ض ، ( د ) ضض ، ( ه ) ض ، ( و ) ضض (ز ) ضض ، ( ح ) ض ، (ط ) ض ، ( ي ) ض ، ( ك ) ض ، ( ل ) ض
(م ) ض ، ( ن) ضض ، ( س ) ضض ، ( ع ) ضض
۲~ المعين : هو متوازي أضلاع أضلاعه متطابقة ِ المستطيل : قطراه متطابقان وينصف كلٌ منهما الآخر متوازي الأضلاع : قطراه ينصف كلٌ منهما الآخر ِ شبه المنحرف المتطابق الساقين : قطراه متطابقان
3~ ( أ ) متوازي أضلاع أو معين أو مربع. ( ب ) مستطيل أو مربع . ( جـ ) مستطيل . ( د ) معين .
( هـ ) متوازي أضلاع أو مستطيل أو معين أو مربع. ( و ) مستطيل .
4~ ( أ ) دائما ً . ( ب ) صحيحة أحياناً . ( جـ ) غير صحيحة أبداً. ( د ) صحيحة دائماً. ( هـ ) صحيحة أحياناً . ( و ) صحيحة أحياناً . ( ز ) صحيحة أحياناً . ( ح ) صحيحة دائماً .
( ط ) غير صحيحة أبداً. ( ي ) غير صحيحة أبداً.
5~ ( أ ) ( ب ) ( جـ )



( د ) ( هـ )



6~ بم ا ب ج د متوازي أضلاع إ قطراه ينصف كلٌ منهما الآخر ، وبالتالي ‘ م ا‘ =‘ م ج‘ ،
‘ م ب‘ =‘ م د‘ تت 1لأ حيث م نقطة تقاطع القطرين .
و بم ‘ م ا‘ =‘ م ج‘ و ‘ ال‘ =‘ج ه‘ إ ‘ مل‘ =‘ م ه‘ تت ۲لأ
من 1لأ و ۲لأ نستنتج أن ل ب ه د متوازي أضلاع لأن قطراه متقاطعان في المنتصف



7~ بم ا س ] ب ج ، ج ص ] ب ا إ ا ب ج د متوازي أضلاع .
و بم ا ب ج د متوازي أضلاع فيه ب؟ = 90 ْ إ ا ب ج د مستطيل .
و بم ا ب ج د مستطيل فيه ‘ اب‘ =‘ب ج‘ إ ا ب ج د مربع .

8~ بم ا ب ج د متوازي أضلاع إ كل زاويتان متواجهتان متطابقتان أي أن ا؟ = ج؟ = 6 سْ
و د؟ = ب؟ = 4س ْ و بم مجموع زوايا الرباعي = 360 ْ
إ ا؟ + ب ؟ +ج؟ + د؟ = 360 ْ
وبالتالي 1۲س ْ + 8سْ = 360 ْ أي أن ۲0سْ = 360 ْ تت سْ = 18 ْ
إ ا؟ = 108 ْ= ج؟ ، د؟ = 7۲ْ = ب ؟

9~ بم ا ب ج د مربع ه ، و ، ز ، ح هي منتصفات أضلاعه
إالمثلثات التالية متطابقة الساقين :
ح اه ، ه ب و ، و ج ز ، ز دح كما أنها متطابقة
لأنها قائمة وفي كلٌَ منها ضلعين مطابقين لضلعين في المثلثات الأخرى
من ذلك نستنتج أن ‘ح ه‘ =‘ ه و‘ = ‘وز‘ =‘ز ح‘
أي أن ه و ز ح رباعي أضلاعه متطابقة .
بم المثلث ح اه متطابق الضلعين و قائم الزاوية إ ا ه ح ظ = 45 ْ تت 1لأ
بم المثلث ه ب و متطابق الضلعين و قائم الزاوية إ ب ه و ظ = 45 ْ تت ۲لأ
من 1لأ و ۲لأ نستنتج أن : ح هو ظ= 90 ْ لأن اه ب ظ = 180 ْ
بم الرباعي ه و ز ح متطابق الأضلاع وذو قطاع زاوي قائم إ هو مربع .








الفصل الثامن
النسبة - تمارين ( 8 -1 )
1~ أ) (؛7! ، عشرة إلى سبعة ب) @؛2!؛ ، اثنتا عشرة إلى اثنين جـ ) 10: 1 ، عشرة إلى واحد
د) 5: 8 ، خمسة إلى ثمانية هـ) 10: 15 ، عشرة إلى خمسة عشر و) 9 : 3 ، )؛3 ز) 12 : 15 ، @؛5!؛1
۲~ أ) $؛4 ، $؛6 ، )؛4 ب) $؛8 ، $؛0 ؛1 ، )؛3 ؛1 جـ ) #؛4!؛ ، (؛6!؛ ، #؛9!؛
3~ أ) 5 : 4 ب) !؛4
4~ النحاس 5~ النسبة = 1
6~ ا) !؛4 سم ب) !؛0 ؛5 سم جـ ) !؛4 هللة د) )؛0 ؛0 ؛2 غم هـ ) !؛5 سم و) !؛4 دقيقة ز) $؛2 شهر جـ ) @؛4 أسبوع
7~ أ) في المجموعة الثانية نرسم 8 دوائر ، ب ) في المجموعة الثانية نرسم 6 مستطيلات
8~ #؛1
9~ ا) ^؛5 ى &؛6 ب) &؛4 ى #؛8!؛
10~ ا) 30 ب) 10 جـ ) 1
11~ أ) 8 : 7 ب) 5 , 4 : 5
جـ)محيط المستطيل الاول = 2 ( 8 + 5, 4 ) = 25 سم محيط المستطيل الثاني = 2 ( 7+ 5 ) = 24 سم النسبة 25 : 24
د )مساحة المستطيل الاول = 8×4,5 = 36 سم2 مساحة المستطيل الثاني = 7× 5 = 35 سم2 النسبة 36 : 35
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
التناسب - تمارين ( 8 – 2 )
1~ أ) @؛3 = $؛66 = ^؛9 = *؛2 ؛1 = (؛5!؛1 = @؛8!؛1 ، ب) )؛4 = *؛8!؛ = &؛2@؛1 = ^؛6#؛1 = %؛0$؛2 = $؛4%؛2
ج) %؛7 = (؛4!؛1 = %؛1!؛2 = (؛8@؛2 = %؛5@؛3 = (؛2#؛4 ، د) @؛6!؛1 = $؛2@؛3 = ^؛8#؛4 = *؛4$؛6 = (؛0^؛8 = @؛6&؛9
۲~ أزواج النسب التي تكون تناسب : ا ، د ، و
3~( 5 :8 ، 10 : 16 ، 45 : 72 ، 15 : 24 )
( 3: 4 ، 9 : 12 ، 12 : 16 )
4~ ( ا ، جـ ، و ) = ( ب ، د ، هـ ، ز ، ح ) لآ
5~ 21 ، 24
6~ أ) 9 ، ب) 2 ، جـ ) 6 ، د) 6 ، هـ) 9 ، و) 6 ، 12
7~ ا) %؛0 ؛3 = ؛؛؛ ؛س؛12؛؛؛؛؛؛؛1؛؛؛؛؛؛ إ س= 2 ، ب ) س = 5 ، ج ) س = 6 ، د) س= 45 ، ه) س=10
8~ ا) س= 15 ب) س=4 جـ) س= 14 د) س= 2
9~ %؛0@؛0 ؛1 = ؛؛؛؛؛#؛؛ ؛؛سس إ س= 12يوم
10~ #؛0 ؛1 = ؛ ؛؛؛؛%سس؛؛!؛ إ س = 50سنة
11~ ؛؛؛$؛,؛%؛؛؛ ؛؛سس؛ = #؛2 إ س= 3.6م
12~ ؛ 0؛؛ 2؛س5 8؛؛ ؛ = @؛5 ؛1 إ س = 1136 ريال
13~ سمير أطول . ^؛7 = ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛5؛؛؛؛؛؛؛؛؛ 7؛س 1؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ إ س = 150سم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
التناسب الطردي- تمارين (8-3)
1~ بم المسافة تتناسب طرديا مع الزمن (؛؛4(؛؛$؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ = ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ 7 س؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ إ س= 700كم
2~ 0؛؛(8؛؛$2؛؛ = ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ ؛4 ؛س8 ؛؛ ؛ إ س= 12لتر
3~ ؛(0؛#8؛^؛7)؛ ؛؛؛؛؛ = ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛0؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ 2؛س 7؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ إ س= 8889,23 كم
4~ ا) ؛؛؛؛ ؛$4؛؛؛؛؛؛؛؛!6؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛7؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛1؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ = ؛؛؛؛؛؛!؛؛؛؛!؛؛ سس؛ إ س = 1386 ريال ب) ؛$4؛؛؛؛؛؛؛؛!6؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛7؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛1؛ = 4؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ 3؛س 1؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛1؛؛؛؛؛؛؛؛؛ إ س = 9 م2
5~ @؛3 = ؛ 2 س؛1 ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ إ س = 8 كلغ
6~ @؛4!؛ = ؛؛ ؛ ؛؛؛؛؛^؛سس ؛^؛؛؛؛؛؛؛ إ س =22 كلغ
7~ (؛4@؛ = ؛؛؛%؛$؛سس ؛ إ س= 9ساعات
8~ ؛(5؛!؛‚؛ ؛7 ؛ = ؛%؛)؛؛؛؛؛؛؛؛ ؛؛سس ؛ إ س = 25‚71 كلغ
9~ مقياس الرسم =المسافة على الخارطة ÷ المسافة الحقيقية . !؛0 ؛0 ؛0 ؛0 ؛1 = ؛ ؛%؛؛سس ؛ ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ إ س= 5 ‚كم
10~ !؛0 ؛0 ؛0 ؛0 ؛1 ؛؛؛ = ؛%؛#سس ؛ ؛ ؛ إ س= 35000سم = 35‚كم
11~ !؛0 ؛0 ؛0 ؛0 ؛0 ؛0 ؛5 = ؛0 ؛0 ؛0 ؛0س؛ ؛0 ؛0 ؛2 ؛2؛؛؛؛؛؛؛؛ إ س= 4‚4سم
1۲~ مقياس الرسم = المسافة على الخارطة ÷ المسافة الحقيقية = ؛0 0؛0 0؛0 0؛0$0؛0 0؛ ؛0 1؛ = 000؛0 0؛!0؛00 0؛ 0؛ ؛5 2؛ ؛؛
13~ ا) #؛9 = ؛؛؛؛ ؛%؛ ؛سس إ س = ط = 15 سم
ب) المحيط (1) =12×۲=۲4سم , المساحة (1) = 27سم@
المحيط (۲) = ۲0×۲=40سم , المساحة (۲) = 5× 15 = 75 سم2
ج ) نعم د) نعم ه) نعم
التناسب العكسي - تمارين ( 8 - 4 )
1~ بما أن السرعة والزمن يتناسبن عكسيا إذن
45 × 90 = س × 30 إ س = (؛0%؛3(؛$؛؛ = 135 كم / س
2~ بما أن السرعة والزمن يتناسبن عكسيا إذن
15× 4 = س × 6 إ س = 10 كم / س
3~ بما ان عدد الاشخاص يتناسب تناسب عكسي مع نصيب كل واحد إذن
150 × 100 = 300 × س إ س = 50 شخص
4~ بما ان عدد العمال يتناسب تناسب عكسي مع الزمن إذن
14 × 180 = 9 × س إ س = 280 عمال
5~ بما ان عدد العمال يتناسب تناسب عكسي مع الزمن إذن
16 × 50 = س × 40 إ س =20 يوم
6~ بما ان عدد العمال يتناسب تناسب عكسي مع الزمن إذن
20 × 30 = 25 × س إ س = 24 يوم
7~ بما ان عدد الفلاحين يتناسب عكسيا مع عدد الساعات إذن
18 × 30 = س × 10 إ س = 54 فلاح
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارين عامة ( 8 - 5 )
1~ أ ) 1 ب ) 72 سم جـ ) !؛0 ؛5 ؛1 د ) 8
2~ أ ) طردي ، (؛0@؛5 ؛3 = (؛0(؛5!؛7 ؛1 ب ) طردي ، (؛8$؛^؛ = (؛2^؛1)؛
جـ ) عكسي ، 12× 5 = 60 × 1 د ) طردي ، (؛3&؛؛؛؛@؛ = (؛7#؛؛؛؛؛؛^؛
3~ أ ) 1 : 2 ب ) 9 : 11 جـ ) 2 : 5 د ) !؛3 هـ ) $؛9 و ) #؛5
4~ أ ، جـ ، و ، د
5~ التناسب الطردي أ ، جـ التناسب العكسي د ب ليست تناسب عكسيا ولا طرديا
6~ بما أن عدد جالونات الدهان يتناسب طرديا مع مساحة الجدار إذن
%؛0 ؛3 ؛1 = ؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛8؛؛؛؛؛؛ 0س؛؛2؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛؛ س = 8 جالونات
7~ نفرض ان نصيب الثالث = س ، ونصيب الثاني = !؛2 س ، ونصيب الاول = !؛4 س
س + !؛2 س + !؛4 س = 640 3 بالضرب × 4

4س + 2 س + س = 14560 إ س = 2080
نصيب الثالث= 2080 ريال ،ونصيب الثاني = !؛2 ( 2080) = 1040 ريال، ونصيب الاول = !؛4 (2080 ) = 520 ريال
8~ بما ان المسافة تتناسب طرديا مع الزمن إذن (؛2؛؛؛*؛!؛ = ؛؛؛ ؛4 س ؛ ؛؛؛؛ إ س = 360 كم
9~ بما ان عدد الايتام يتناسب عكسيا مع نصيب كل واحد إذن
100 × 400 = س × 250 إ س = 160 يتيم
10~ بما ان عدد العمال يتناسب عكسيا مع عدد الساعات إذن
5 × 3 = س × 12 إ س =25‚1 ساعة
11~ بما ان امسافة تناسب طرديا مع الزمن إذن
)؛5 ؛4 = ؛؛؛ ؛؛؛؛( ؛سس؛#؛؛؛؛؛؛؛؛؛ إ س = 150 دقيقة = 5‚2 ساعة




تم بحمد الله وشكره

مشكور لكن أريد أن أسأل هذه التمارين لأي صف